Будущий актер родился в подмосковном городе Реутов, где уже к юности твердо решил посвятить свою жизнь актерству. Благо, талант и неординарный подход к творчеству позволили молодому человеку поступить в Высшее театральное училище имени Щепкина. Еще учась в престижном ВУЗе страны, актер стал параллельно сниматься в кино. Правда, первые его роли прошли не столь заметно, но зато прибавили Борисову уверенности в себе и актерского опыта.
По окончании училища Юра без труда нашел себе место в московском театре «Сатирикон», где отработал всего один сезон. Поняв, что истинное его призвание — кинематограф, актер не растрачивает свои силы впустую и полностью акцентирует все внимание на кино.
Сразу же после ухода из театра о перспективном актере заговорила пресса: на киноэкраны выходит военный сериал «Молодая гвардия» с его участием. Вышедшая одновременно картина «Дорога на Берлин» с Борисовым укрепила амплуа военного героя. После заметного успеха последовали работы в таких фильмах, как «Отчий берег», «Семь пар нечистых», а также в сериале «Ольга».
Возможно, актер и дальше бы пребывал в разряде «перспективного», но вышедший в 2019 году фильм «Бык» перевернул всю карьеру Борисова. Актерская работа Юры была отмечена как кинокритиками, так и зрителями. За эту картину он был номинирован на премию «Золотой орел», однако статуэтка Борисову не досталась. Впрочем, даже одной номинации на престижную премию хватило для того, чтобы популярность актера возросла до небес.
Уже через год в свет выходит новая работа с участием молодого таланта — фильм «Калашников», где Борисов сыграл Михаила Калашникова. Перевоплощение звезды отечественного кинематографа с нескрываемым восторгом отметили критики, и на этот раз заветный «Золотой орел» наконец-таки достался Юре.
Несмотря на все прелести популярной жизни и армию преданных поклонниц, Борисов ведет довольно скромный образ жизни без скандальности и звездности. Актер счастливо женат на коллеге Анне Шевчук, с которой воспитывают двоих прекрасных дочерей с необычными именами — Марфа и Акулина.